全排列算法非递归实现和递归实现 (C++)

 

（一）非递归全排列算法

基本思想是:
    1.找到所有排列中最小的一个排列P.
    2.找到刚刚好比P大比其它都小的排列Q,
    3.循环执行第二步,直到找到一个最大的排列,算法结束.
下面用数学的方法描述:
给定已知序列 P =  A1A2A3An ( Ai!=Aj , (1<=i<=n  , 1<=j<=n, i != j  ) )
找到P的一个最小排列Pmin = P1P2P3Pn  有  Pi > P(i-1) (1 < i <= n)
从Pmin开始,总是目前得到的最大的排列为输入,得到下一个排列.
方法为:
1.从低位到高位（从后向前），找出“不符合趋势”的数字。即找到一个Pi，使Pi < P(i+1)。
  若找不到这样的pi，说明我们已经找到最后一个全排列，可以返回了。
2.在 P(i+1)P(i+2)Pn 中,找到一个Pj,便得 Pj"刚刚好大于"Pi. 
  ("刚刚好大于"的意思是:在 P(i+1)P(i+2)Pn 中所有大于Pi的元素构成的集合中最小的元素.)
3.交换 Pi , Pj 的位置.注意:此处不改变i和j的值,改变的是Pi和Pj.
4.交换后， P1P2P3Pn  并不是准确的后一个排列。因为根据第1步的查找，我们有P(i+1) > P(i+2) > . > Pn
  即使进行了Pi和Pj的交换,这仍然是这一部分最大的一个排列。将此排列逆序倒置(变成最小的排列)即为所求的下一个排列.
5.重复步骤1-4,直到步骤1中找不到“不符合趋势”的数字.

 

//交换数组a中下标为i和j的两个元素的值

void swap(int* a,int i,int j)

{

    a[i]^=a[j];

    a[j]^=a[i];

    a[i]^=a[j];

}

 

//将数组a中的下标i到下标j之间的所有元素逆序倒置

void reverse(int a[],int i,int j)

{

    for(;i<j;++i,--j)

    {

         swap(a,i,j);

    }

}

 

void print(int a[],int length)

{

    for(int i=0;i<length;++i)

         cout<<a[i]<<" ";

    cout<<endl;

}

 

//求取全排列，打印结果

void combination(int a[],int length)

{

    if(length<2) return;

 

    bool end=false;

    while(true)

    {

         print(a,length);

        

         int i,j;

         //找到不符合趋势的元素的下标i

         for(i=length-2;i>=0;--i)

         {

             if(a[i]<a[i+1]) break;

             else if(i==0) return;

         }

 

         for(j=length-1;j>i;--j)

         {

             if(a[j]>a[i]) break;

         }

        

         swap(a,i,j);

         reverse(a,i+1,length-1);

    }

}

 

（二）递归算法

令E= {e1 , ..., en }表示n 个元素的集合，我们的目标是生成该集合的所有排列方式。令Ei 为E中移去元素i 以后所获得的集合，perm (X) 表示集合X 中元素的排列方式，ei . p e r m(X)表示在perm (X) 中的每个排列方式的前面均加上ei 以后所得到的排列方式。例如，如果E= {a, b, c}，那么E1= {b, c}，perm (E1 ) = ( b c, c b)，e1 .perm (E1) = (a b c, a c b)。对于递归的基本部分，采用n = 1。当只有一个元素时，只可能产生一种排列方式，所以perm (E) = ( e)，其中e 是E 中的唯一元素。当n > 1时，perm (E) = e1 .perm (E1 ) +e2 .p e r m(E2 ) +e3.perm (E3) + ⋯ +en .perm (En )。这种递归定义形式是采用n 个perm (X) 来定义perm (E), 其中每个X 包含n- 1个元素。至此，一个完整的递归定义所需要的基本部分和递归部分都已完成。

当n= 3并且E=（a, b, c）时，按照前面的递归定义可得perm (E) =a.perm ( {b, c} ) +b.perm ( {a,c} ) +c.perm ( {a, b} )。同样，按照递归定义有perm ( {b, c} ) =b.perm ( {c} ) +c.perm ( {b}), 所以a.perm ( {b, c} ) = ab.perm ( {c} ) + ac.perm ( {b}) = a b . c + ac.b = (a b c, a c b)。同理可得b.perm ( {a, c}) = ba.perm ( {c}) + bc.perm ( {a}) = b a . c + b c . a = (b a c, b c a)，c.perm ( {a, b}) =ca.perm ( {b}) + cb.perm ( {a}) = c a . b + c b . a = (c a b, c b a)。所以perm (E) = (a b c, a c b, b a c, b c a,c a b, c b a)。注意a.perm ( {b, c} )实际上包含两个排列方式：abc 和a c b，a 是它们的前缀，perm ( {b, c} )是它们的后缀。同样地，ac.perm ( {b}) 表示前缀为a c、后缀为perm ( {b}) 的排列方式。程序1 - 1 0把上述perm (E) 的递归定义转变成一个C++ 函数，这段代码输出所有前缀为l i s t [ 0：k-1], 后缀为l i s t [ k：m] 的排列方式。调用Perm(list, 0, n-1) 将得到list[0: n-1] 的所有n! 个排列方式，在该调用中，k=0, m= n - 1，因此排列方式的前缀为空，后缀为list[0: n-1] 产生的所有排列方式。当k =m 时，仅有一个后缀l i s t [ m ]，因此list[0: m] 即是所要产生的输出。当k<m时，先用list[k] 与l i s t [ k：m] 中的每个元素进行交换，然后产生list[k+1: m] 的所有排列方式，并用它作为list[0: k] 的后缀。S w a p是一个inline 函数，它被用来交换两个变量的值

 

template <class T>

inline void Swap(T& a, T& b)

{

    // 交换a和b

    T temp = a; a = b; b = temp;

}

 

template<class T>

void Perm(T list[], int k, int m)

{

    //生成list [k：m ]的所有排列方式

    int i;

    if (k == m)

    {

         //输出一个排列方式

         for (i = 0; i <= m; i++)

             cout << list [i];

         cout << endl;

    }

    else // list[k：m ]有多个排列方式

    {

         // 递归地产生这些排列方式

         for (i=k; i <= m; i++)

         {

             Swap (list[k], list[i]);

             Perm (list, k+1, m);

             Swap (list [k], list [i]);

         }

    }

}